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Le modèle a ensuite été élargi pour inclure la croissance des proies dépendantes de la densité et une réponse fonctionnelle de la forme développée par C. S. Holling; un modèle connu sous le nom de modèle Rosenzweig – McArthur. les modèles Lotka – Volterra et Rosenzweig – MacArthur ont été utilisés pour expliquer la dynamique des populations naturelles de prédateurs et de proies, comme les données de lynx et de lièvre d`hiver de la compagnie de la baie d`Hudson [14] et les populations d`orignaux et de loups de l`Isle royale Parc national. Le modèle de Lotka et de Volterra n`est pas très réaliste [15]. Il ne considère pas la concurrence entre les proies ou les prédateurs. En conséquence, la population de proies peut croître infiniment sans limites de ressources. Les prédateurs n`ont pas de saturation: leur taux de consommation est illimité. Le taux de consommation des proies est proportionnel à la densité des proies. Ainsi, il n`est pas surprenant que le comportement du modèle soit non naturel, ne montrant aucune stabilité asymptotique.

Toutefois, de nombreuses modifications de ce modèle existent qui le rendent plus réaliste. Le modèle de prédateur – proie Lotka – Volterra a été initialement proposé par Alfred J. Lotka dans la théorie des réactions chimiques autocatalytiques en 1910. 4 C`est effectivement l`équation logistique [6], originairement dérivée de Pierre François Verhulst. En 1920, Lotka étend le modèle, via Andrey Kolmogorov, aux «systèmes organiques» en utilisant une espèce végétale et une espèce animale herbivore comme exemple [8] et en 1925, il utilise les équations pour analyser les interactions prédateur – proie dans son livre sur la biomathématique [7]. Le même ensemble d`équations a été publié en 1926 par Vito Volterra, un mathématicien et physicien, qui s`est intéressé à la biologie mathématique [9]. 5 10 l`enquête de Volterra a été inspirée par ses interactions avec le biologiste marin Umberto d`Ancona, qui courait sa fille à l`époque et plus tard devait devenir son gendre. D`Ancona a étudié les captures de poissons dans la mer Adriatique et a remarqué que le pourcentage de poissons prédateurs capturés avait augmenté pendant les années de la première guerre mondiale (1914 – 18).

Cela lui perplexe, comme l`effort de pêche avait été beaucoup réduit pendant les années de guerre. Volterra développa son modèle indépendamment de Lotka et l`utilisa pour expliquer l`observation d`Ancona`s. [12] le modèle Prey-Predator avec taux de croissance linéaire par habitant est [dot x = (b-p y) x ] (Prey) [dot y = (r x-d) y ] (prédateurs) ce système est appelé le modèle Lotka-Volterra: il représente l`un des premiers modèles en écologie mathématique. Le système d`équations de Lotka – Volterra est un exemple de modèle de Kolmogorov [1], [2], [3], qui est un cadre plus général qui peut modéliser la dynamique des systèmes écologiques avec les interactions prédateur – proie, la concurrence, la maladie et le mutualisme. Les équations de Lotka-Volterra décrivent un modèle écologique prédateur-proie (ou parasite-hôte) qui suppose que, pour un ensemble de constantes positives fixes (le taux de croissance de la proie), (la vitesse à laquelle les prédateurs détruisent les proies), (le taux de mortalité des prédateurs), et (le taux les prédateurs augmentent en consommant des proies), les conditions suivantes se maintiennent. À la fin des années 1980, une alternative au modèle de prédateur – proie de Lotka – Volterra (et à ses généralisations dépendantes des proies communes) a émergé, le modèle dépendant du ratio ou l`Arditi – Ginzburg. [16] la validité des modèles dépendants des proies ou des ratios a été beaucoup débattue. [17] des informations supplémentaires sur le modèle Lotka-Volterra peuvent être trouvées sur d`autres sites WWW: cette méthode est appliquée aux équations de Lotka-Volterra dans la feuille de calcul Excel suivante: les équations de Lotka – Volterra, également connues sous le nom d`équations de prédateur – proie, sont une paire de équations différentielles non linéaires de premier ordre, fréquemment utilisées pour décrire la dynamique des systèmes biologiques dans lesquels deux espèces interagissent, l`une en tant que prédateur et l`autre comme proie. Les populations changent dans le temps selon la paire d`équations: Remarque: si les points ne correspondent pas à une ligne droite (p. ex., le taux intrinsèque de croissance de la population de prédateurs peut se niveler), le modèle Lotka-Volterra n`est pas adéquat et devrait être modifié.

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